Lughe costante in tempos relativos

Cust’arresonu naschet dae una pregonta de Robertu Bolognesi:

“Si su tempus est una dimensione ke a is àteras – e si su tempus passat prus a bellu cantu prus t’acostas a sa velotzidade de sa luxe – comente faxet custa velotzidade a abarrare costante?”

Sa risposta in curtzu est:

Sa lestresa de sa lughe abarrat costante, pròpiu ca su tempus passat prus a bellu a dinco t’acostas a custa lestresa. Est a narrere chi sas duas cosas, sa costàntzia de sa lestresa de sa lughe e sa relatividade de sas mesuras de sos tretos temporales, andant a croba, sena peruna possibilidade (a oe) de pigare s’una lassende a una banda s’àtera.

Ma so belle seguru custa risposta non narat meda, e duncas tocat de mi sighire in s’arresonu.

Movimus dae unu logu chi connoschimus bene, prus o mancu: sa fìsica de su mundu fitianu. Comente si cumportat su motu de sas cosas in su mundu chi renessimus a bìdere a ogru?

Nos l’ispiegat Galileo Galilei de pinna sua:

“[…] inserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che questa, quando le lontananze siano eguali; e saltando voi, come si dice, a pie’ congiunti, eguali spazi passarete verso tutte le parti. Osservato che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio vi sia che mentre il vascello sta fermo non debban succeder così, fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché, pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e là, voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso poppa che verso prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l’opposto; le goccioline cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è in aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la susseguente parte del vaso, ma con agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accadrà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi in aria, saranno separate […]”.

“Dialogo intorno ai due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano” 1632.*

In custu resonamentu Galileo nos mustrat unu printzìpiu fundamentale chi ghiat totu sa fìsica e chi, fintzas a oe, s’est mustradu utilosu meda pro cumprèndere sos diferentes fenòmenos de sa natura: est su printzìpiu de relatividade:

Sos matessi fenòmenos pompiados dae unu cale si siat sistema de riferimentu sunt regulados dae sas pròpias leges fìsicas.

Sa formulatzione particulare chi nde dat Galileo tenet contu petzi de sos sistemas de riferimentu inertziales, pro custu pigat su nùmene de printzìpiu de relatividade istrinta.

Ma, ite est unu sistema de riferimentu? E, ite est unu sistema de riferimentu inertziale?

Unu sistema de riferimentu est unu sistema de coordinadas cun un’orìgine dae sa cale si pigat sas medidas. Pro nàrrere, in sa prima parte de su resonamentu de Galileo, a nae firma, su sistema de riferimentu est sa terra firma (e sa nae cun issa). A dinco sa nae si movet, Galileo mudat su sistema de riferimentu e lu ponet a pitzu de sa nae in motu. Si unu sistema de riferimentu si movet cun velotzidade costante in diretzione e sentidu, est a nàrrere, de motu retilìniu uniforme, tando si narat inertziale.

E ite narat custu printzìpiu de relatividade de Galileo?

Narat chi, si pigamus duos diferentes sistemas inertziales, est a nàrrere, duos sistema de riferimentu chi si movent ambos cun motu retilìniu uniforme, a tipu sa terra firma (e una cosa chi abarrat firma, si movet cun motu retilìniu uniforme de velotzidade zero, duncas est inertziale) e sa nae in motu, tando sas leges fìsicas, sas chi nos contant ite sutzedet, devent tènnere sa pròpia forma siat chi medimus dae terra, siat chi mesuramus dae intro sa nae, o dae cale si siat àteru sistema de riferimentu inertziale. Tantu chi, Galileo nos narat chi no esistit perunu esperimentu fatu totu intro de sa nae, chi renessat a iscumbatare si sa nae est firma o si est in motu, e cun cale velotzidade.

Ma giustu est?

Est unu printzìpiu. Est giustu fintzas a cando nos permitet de fraigare teorias fìsicas chi nos ispiegant comente funtzionat su mundu. Est unu printzìpiu simpre e galanu, chi at ghiadu sa fìsica in manera profetosa in su caminu intro su disconnotu.

Bidimus comente l’impitat Galileo. A àlgebra comente semus postos?

Giuilamus S su sistema de riferimentu de sa terra firma e S’ su sistema de riferimentu de sa nae in motu retilìniu uniforme cun velotzidade v e ponimus chi intro sa nae bi siat una pessone firma. A unu tempus de comintzu t=0, puntamus sas orìgines de sos sistemas S e S’ in su puntu ue s’agatat custa pessone, e nde orientamus sos asses de sas coordinadas de manera chi sos asses x e x’ (de S e S’) siant alliniados tra issos cun diretzione e sentidu de su motu de sa nae. Pròpiu in s’istante t=0, sa pessone intro sa nae comintzat a si mòvere cun motu retilìniu uniforme de velotzidade u’, cuncorda in diretzione e sentidu cun v.

Comente est su motu de custa pessone bida dae in sos diferentes sistemas de riferimentu?

In su sistema de rifermentu S’ (de sa nae), sa positzione x’ de sa pessone a su tempus t’, si podet iscrìere comente:

• x’ = u’ t’

E dae su sistema de riferimentu S de sa terra firma?

Inoghe intrat su printzìpiu de relatividade. In su sistema de rifermentu S su motu de pessone debet èssere reguladu dae una lege fisica de sa matessi forma, iscrita cun sas coordinadas currispondentes. E tando diat dèvere èssere:

• x = u t

ue x, u e t sunt positzione, lestresa e tempus de sa pessone in su sistema de riferimentu S. Est a nàrrere chi sa pessone chi si movet de motu retilìniu uniforme intro de sa nae, si diat dèvere mòvere de motu retilìniu fintzas cunforma cale si siat àteru sistema inertziale cun sa nae.

Sa pessone si movet cun velotzidade u’ intro de sa nae. Sa nae si movet cun velotzidade v subra de su mare. Duncas, essende u’ e v cuncordas, sa velotzidade cun sa cale sa pessone si movet pompiende dae terra est sa summa de sas duas, u’ + v, chi est issa puru una velotzidade costante in diretzione e sentidu e la giuliamus u = u’ + v. E tando:

• x = u t = (u’ + v) t

Ponimus chi sa pessone si movat cun lestresa u’ = 2 m/s intro de sa nae e chi sa nae si movat cun lestresa v = 30 m/s. Sa lestresa de sa pessone pompiada dae terra est u = u’ + v = 32 m/s.

Como a torrat su contu?

E cale est sa relata intro sas coordinadas x e x’ de sos duos sistemas de riferimentu? Est a nàrrere, comente si podet colare deretos dae su sistema de riferimentu S’ a su sistema de riferimentu S, e torrare a coa?

Unu pagu de algebra:

• x = u t = (u’ + v) t = u’ t + vt

como si osservamus sa lege de su motu in S’, x’ = u’ t’, bidimus chi diamus poder pònnere x’ in logu de u’ t si no esseret chi bi tenimus su tempus t in logu de su tempus t’.

E comente sunt tra issos t e t’? Sa cosa prus simpre de nàrrere a su tempus de Galileo fiat chi t e t’ sunt su pròpiu tempus, est a nàrrere chi su tempus est assolutu e non dipendet dae su sistema de riferimentu. E pro tantu tempus a pustis de Galileo, custa assolutesa de su tempus est istada cunfirmada dae sos esperimentos. Duncas:

t = t’ e tando x’ = u’ t’ = u’ t si podet mintere in sa formula de x pro dare

• x = u’ t + vt = x’ + vt

si podet fintzas bortare e iscrìere

• x’ = x – vt

• t’ = t

custas chi si narant trasformadas de Galileo, e sunt s’espressada matemàtica de su printzìpiu de relatividade pro sa fìsica su motu de sos corpos, est a nàrrere sa chinemàtica.

E pro sa lughe?

Sa lughe in s’ispàtziu bòidu (e in pràtica in s’àera) si movet cun lestresa c = 300.000.000 m/s, treghentos milliones de metros a su segundu. Duncas, si in logu de sa pessone ponimus unu corfu de lughe, unu flash, at a atraessare sa nae cun lestresa c.

Sas trasformadas de Galileo narant chi, si nde mesuramus sa lestresa dae terra, diamus dever agatare

u = c + v = 30 m/s + 300.000.000 m/s = 300.000.030 m/s.

Comente si podet bìdere pro averguare si custa lege narat su beru fintzas pro sa lughe, diat tocare de medire custa lestresa cun una pretzisione de 30/300.000.000 = 1 / 10.000.000. Una pretzisione ispantosa a beru, che cando chi unu renessat a segare unu cantu de linna de unu metru cun pretzisione de una sìngula tzèllula vegetale. A rendet s’idea? Diat esser làdinu como su proite pro tantu tempus a pustis de Galileo e a pustis de Newton, nemos at annotadu custu problema.

Su problema est bennidu in su sèculu de 19, a dinco si sunt comintzados a istudiare sos fenòmenos eletromagnèticos e Maxwell at bogadu a campu sas leges de s’eletromagnetismu ponende a pare su traballu de Faraday, Ampere e tantos àteros. Siat sas leges de Newton, siat sas de Maxwell sunt bastante pretzisas in sa descritzione de sos fenòmenos chi abbarrant intro de sos rispetivos campos, mecànica e eletromagnetismu.  Ma cando sunt postas a pare pro ispricare fenòmenos chi pertocant ambos campos, s’iscontriant e non renessint a fagher preditziones pretzisas. Pro nàrrere, s’eletromagnetismu pretendet chi sa lughe (in s’ispàtziu bòidu) si movat in cale si siat sistema de riferimentu semper cun sa matessi lestresa c, contras a sa previsiones de sa mecànica. E sos esperimentos cunfirmant sas leges de s’elettromagnetismu.

Faghimus unu resumu.

Tenimus unu printzìpiu de relatividade chi at ghiadu su resonamentu fìsicu dae Galileo a Newton, fintzas a sa fine de su sèculu de 19. Dae custu nde derivant sas leges de sa mecànica, chi, in intro su campu issoro de aplicatzione sunt bastante giustas. Tenimus totu un’òrdine de fenòmenos, intro sos cales b’est sa lughe, chi sighint àteras leges, s’eletromagnetismu. Ma custas leges non parent cuncordas cun sa mecànica, ca pretendent chi sa lughe si movat cun lestresa c in cale si siat sistema de riferimentu inertziale.

E tando, ite si faghet? Nche fuliamus su printzìpiu de relatividade?

Tziu Einstein e pagos àteros teniant bene craru chi si deviat mudare de meda totu sa fìsica teorica pro acrobare mecànica e eletromagnetismu. Teniant carchi crae pro inghitzare su traballu, ma non fiat unu cumandu simpre, ca sa chistione est chi:

est dificurtosu de una manera chene contu a s’imbentare ecuatziones noas chi resurtent cunsistentes cun TOTU sos esperimentos e tecnologias giai bene connodos e cun cuddos de su benidore. Custu est s’istandard chi pretendet su mètodu iscientìficu e sa natura pro benner cumpresa.

Tziu Einstein, cando fiat giovanu, in su 1905, at pùblicadu 3 artìculos de fìsica in 3 campos diferentes. Ognunu de custos artìculos ant rivolutzionadu sa fìsica chi andaiant a pertocare. In particulare, in “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” mustrat comente si podet mantènnere acrobados sa bellesa de su printzìpiu de relatividade, sa mecànica e s’eletromagnetismu.

E comente at fatu Einstein a fagher custa maghia?

Giai dae tempus si fiat chirchende una manera de acontzare sas fòrmulas pro giumpare dae unu sistema de riferimentu a s’àteru mantenende a pare sa mecànica e s’eletromagnetismu. A sa fine sas tentas andaiant belle semper a intacare s’assolutesa de s’ispàtziu e de su tempus. Est a nàrrere chi pro renèssere a rèndere contu de sos resurtados isperimentales chi manu manu arribaiant, si comintzaiant a usare, ma petzi comente artifìtziu matemàticu, cuntzetos comente s’incurtziada de sos tretos ispatziales e s’allònghiada de sos tretos temporales. Ma mancaiat unu filu comunu.

Est inoghe chi intrat su gèniu.

A tziu Einstein, ca fiat esteta, custa cosa de nche fuliare su printzìpiu de relatividade no agradaiat. Ca fiat bellu e simpre, comente isse pensaiat sa natura. E tando s’est pensadu: proamus a mantènnere petzi duos printzìpios bonos e su chi no serbit nche lu fuliamus. E bi la mantenet chi:

1) Sa lestresa de sa lughe est sa matessi in cale si siat sistema de riferimentu.

2) Su printzìpiu de relatividade est bonu, est a nàrrere chi non nch’at perunu sistema de riferimentu assolutu, totu sos sistemas inertziales sunt relativos.

Comente si podent mantènnere ambos a pare sena chi s’unu ochidat s’àteru?

Pròpiu fuliende·nche su restu. Chie l’at nadu chi s’ispàtziu e su tempus sunt assolutos? Est una cosa chi s’est semper data pro bona, ma mai cunfirmada dae s’esperimentu.

Est a nàrrere: chie l’at nadu chi, si mesuro tretos de ispàtziu e de tempus in duos sistemas de riferimentu diferentes, mi dant sos matessi resurtados?

Torramus a pigare sa trasformadas de Galileo

• x’ = x – v t

• t’ = t

Bi tenimus sas 2 coordinadas ispàtziu-temporales, x e t, de su sistema de riferimentu S e sas currispondentes, x’ e t’, de su sistema de riferimentu S’.

Ma, comente si bidet, mentras x’ dipendet siat dae x siat dae t, t’ dipendet petzi dae t. Est a narrere chi, pro Galileo (e Newton) su tempus est assolutu. Sos tretos temporales, e duncas sos tretos ispatziales, sunt sos pròpios in ogni sistema de riferimentu. Si nche colat unu segundu in sa nae, nch’at coladu unu segundu fintzas in sa terra. Si sa pessone si movet de unu metru intro de sa nae, s’est mòvida de unu metru fintzas pompiende·la dae terra. Paret cosa làdina, no?

Est pròpiu custu printzìpiu chi Einstein nche imbolat. Isse mantenet su prìntzipiu de relatividade e est dispostu a cunsiderare chi su tempus podet dipendere dae s’ispàtziu. De manera chi tempus e ispàtziu siant intritzados a pare: su crono-topos. E tando podet èssere chi sos tretos temporales, e duncas sos tretos ispatziales, non sunt sos pròpios in ogni sistema de riferimentu.Sa manera generale de iscriere custu intritzu est:

• x’ = A x + B t

• t’ = C x + D t

ue A, B, C, D sunt paràmetros chi devent èssere isseberados de manera chi siet respetada sa fìsica, est a nàrrere sa natura.

Pro nàrrere, si diamus isseberare A = 1, B = -v, C = 0, D = 1, torramus a sas trasformadas de Galileo. E dee possibilidades matemàticas bi nd’at maicantas, ma sa fìsica una est.

Comente si faghet a agatare sa giusta?

Su resonamentu est custu. Si sa pessone est firma intro de sa nae, tando devet resurtare chi si movet cun lestresa v dae terra. E duncas pro chi siat x’ = 0 cando x = v t, tocat chi siat

0 = A v t + B t => A v + B = 0 => B = – A v

E tando si podet iscrìere:

x’ = A x + B t = A x – A v t = A( x – v t)

Giuilamus A comente γ, pro usare sos sìmbulos comunos e torramus a iscrìere:

• x’ = γ (x – v t)

Inoghe Einstein mintet su printzìpiu de relatividade: sas leges fìsicas devent tènnere sa matessi forma in ogni sistema de riferimentu (inertziale), e duncas, mesurende dae S’, devet resurtare:

• x = γ (x’ + v t’)

ue v = -v’ e γ, chi non dipendet dae sa coordinadas, devet èssere su pròpiu.

Pro Einstein, sa costàntzia de sa lestresa de sa lughe no est petzi unu datu de unu esperimentu, una curiosidade de sa fìsica, est sa crae chi permitet de fraigare una mecànica noa. Si como ponimus su corfu de lughe in logu de sa pessone, comente amus fatu prima, pro S, S’  e cale si siat sistema de riferimentu, devet resurtare:

• t = x / c

• t’ = x’ / c

Si como sas espressiones de sos tempos nche las mintimus intro sas espressiones de x e x’, b’amus:

x’ = γ (x – v x / c) = γ ( 1 – v / c) x

x = γ (x’ + v x’ / c) = γ ( 1 + v / c) x’

E si las multiplicamus a pare nos dat:

x x’ = γ² ( 1 – v² / c²) x x’

E dae cue si arribat a:

• γ = 1 / v ( 1 – v² / c²)

Custu γ si narat fatore de Lorentz.

Duncas sa positzione, est a nàrrer su tretu ispatziale, dae unu sistema de riferimentu a s’àteru si furriat comente:

x = γ (x’ + v t’) = (x’ + v t’) / ( 1 – v² / c²)

E su tempus?

Torramus a coa:

t = x / c => x = c t

t’ = x’ / c => x’ = c t’

Chi postos intro de x’ = γ (x – v t) mi dant:

c t’ = γ (c t – v x /c)

Dae ue benit:

t’ = γ (t – v x /c²)

E cun custu amus agatadu fintzas sos àteros duos paràmetros C e D:

D = γ

C = – γ v /c²

Duncas Einstein proponet chi, pro mantènnere a pare su printzìpiu de sa relatividade e sa costàntzia de sa lestresa de sa lughe, si devent mudare totu sa ecuatziones de sa mecànica de Newton, a incomintzare dae sas trasformadas de Galileo, chi devent fagher logu a sas trasformadas de Lorentz:

• x = γ (x’ + v t’)

• t = γ (t’ + v x’ /c²)

chi si podent furriare deretas a su sistema de riferimentu S’ pro mèdiu de su printzìpiu de relatividade:

• x’ = γ (x – v t)

• t’ = γ (t – v x /c²)

Est una fìsica noa, cun règulas noas, ue s’ispàtziu e su tempus sunt intritzados s’unu cun s’àteru e sunt relativos, est a nàrrere chi dipendent dae su sistema de riferimentu dae ue semus medende. Ma est una fìsica chi mantenet acrobados a pare su printzìpiu de relatividade e sa costàntzia de sa lestresa de sa lughe, e aunit sa mecànica cun s’eletromagnetismu.

E comente si bidet sa costàntzia de sa lestresa de sa lughe?

Tocat de agatare comente si cumbinant sas velotzidades cun custa fìsica noa. Sa fìsica de Galileo nos naraiat chi sas velotzidades si summaiant:

u = u ‘+ v

Ma si pro casu sa lestresa u’ fiat sa de sa lughe, tando isballiaiat sa previsione ca pretendiat chi sa lughe s’esseret movida cun lestresa:

u = c + v > c

Sa lestresa de sa lughe (in s’ispàtziu boidu s’intendet) est semper c, cale si siat su sistema de riferimentu, custu narat s’eletromagnetismu. E si sighimus sa fìsica de Einstein, sa lestresa u s’agatat semper comente u = x / t, ma in logu de sas de Galileo usamus sas trasformadas de Lorentz:

u = γ (x’ + v t’) / γ (t’ + v x’ /c²) = ( x’ / t’ + v) / ( 1 + u’ v / c²)

chi mi dat

• u  = (u’ + v) / ( 1 + u’ v / c²)

Duncas sas velotzidades si cumbinant a pare de manera diferente dae comente pessaiat Galileo (e Newton). E ite sutzedet si ponimus u’ = c, est a nàrrere, sa proa de su corfu de lughe?

Bidimus:

u = (u’ + v) / ( 1 + u’ v / c²) = (c + v) / ( 1 + c v / c²) = (c + v) / ( 1 + v / c) = c (c +v) / (c + v)

dae ue essit

• u = c

Cumpresu?

Cando u’ = c, tando  u = c. Sa lestresa de sa lughe abarrat semper c. Tenimus a pare printzìpiu de relatividade e costàntzia de sa lestresa de sa lughe.

Ma tando, tocat de nche fuliare in totu sa mecànica de Newton ca est isballiada? Ma cun sa mecànica de Newton, non nche semus giumpados a sa Luna?

Giustu. Proamus a bider ite sutzedet si usamus sa mecànica de Einstein pro su contu de sa pessone chi si movet intro de sa nae. Ponimus de nou chi pessone si movat cun lestresa u’ = 2 m/s in su sentidu de sa nae, e sa nae cun lestresa v = 30 m/s dae terra. Comente resurtat su motu de sa pessone cunforma sa mecànica de Einstein?

Dae terra sa lestresa de sa pessone est:

u = (u’ + v) / ( 1 + u’ v / c²) = (2 + 30) / (1 + 2 · 30 / 300.000.000²) m/s = 32 / ( 1 + 60 / 90.000.000.000.000.000) m/s = 32 / (1 + 0,00000000000000067) m/s = 31,9999999999979 m/s

Est a nàrrere chi in custu casu sa mecànica de Einstein si nch’iscotiat dae sa mecànica de Newton (chi daiat una lestresa de u = 32 m/s) de un’iscartu de 0,000000000002 m/s, duamìgia milliardèsimos de metros a su segundu, una diferèntzia relativa de 0,000000000002 / 32 = 0,00000000000007; chi pro poder èssere pretziada rechedet una pretzisione che de cando segare una tàula de linna de unu metru contende unu sìngulu nùcleu atòmicu. Est làdinu chi fintzas oe in die est anneosu meda a nche annotare sa diferèntzia.

In pràtica, sa mecànica de Einstein si reduit a sa de Newton e Galileo, a dinco sas lestresas in giogu sunt meda prus piticas de sa lestresa de sa lughe. Chi est su casu de su mundu fitianu fatu de naes, pedras, trenos, aparechios e gasi. Ma totu sas tecnologias modernas ue sas lestresas si podent pònnere a paragone cun c, tenent a fundamentu sa fìsica chi s’est pesada a pustis de su traballu de Einstein.

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*  Galileo est istadu su primu a usare sa limba italiana pro sa prosa.

** Nodare chi lestresa e velotzidade los impreo pro espressare duos cuntzetos fìsicos diferentes, a sa matessi manera de speed e velocity in inglesu.